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什么是无理数(无理数和有理数的区别)

这种困惑终究没有被解开,随着时间的推移,渐渐的接受了这个词,“无限不循环小数”很自然的等价于“无理数”,但是这颗好奇心始终在心底呐喊,在我发现了真相的时候,感觉也许是曾经的一个玩笑,而这个玩笑却开到了今天。

无理数为啥叫无理数?老师把这个故事讲给学生,瞬间在他心目中加分

“无理数”从发现到被证明存在,一波三折,今天我们一起来看看“无理数”的奋斗史,也许无理数本身并不是“无理”,而无理数这个名字才更加“无理”。

万物皆数

故事从古希腊开始,大约是公元前580年的意大利半岛,产生了一个以毕达哥拉斯为首的宗教社团–毕达哥拉斯兄弟会,而我们的毕大侠理所应当稳坐帮主的位置。“兄弟会”成员是一群高智商的知识分子,他们认为“数”可以解释世上的一切现象,更确切的说应该是“整数”,“整数”是现实的秘密法则。毕帮主说:“整数中,1是万物之本源,2是第一个偶数,所以2代表女人,3是第一个奇数,所以3代表男人,而2+3=5,所以5代表婚姻,……”类似的方式帮主都能用整数解释,众帮会成员对此也深信不疑!

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和谐的比例

毕帮主不仅数学能力强,对音乐也是颇有研究,有一天,当他经过一个铁匠铺的时候,听到了铁匠铺中传来的叮叮当当的声音,时而铿锵有力,时而节奏鲜明,时而沉闷无聊。帮主被声音所吸引,不由自主地走进铁匠铺。(毕帮主一定是没去过我们北方的澡堂子,那噼里啪啦的敲背声比铁匠铺的悦耳多了!)铁匠铺中,在一根烧红的铁杵两旁,站着铁匠铺的两位主人——张大锤和张小锤,大锤拿大锤,小锤拿小锤,对着铁杵有节奏地敲打,此时张大锤面露喜色,因为他看见衣着华丽的毕帮主,知道这定是个“不差钱”的主,大买卖来了!然而大锤错了。此时毕帮主脑中勾画的是另一番场景!

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次日清晨,帮主让帮会小弟们置办了一套铁匠铺简配装备,在帮会总部过上了打铁的生活。小弟们很迷茫啊,难倒帮会要转型?莫非下一个高薪职业是铁匠?有几个耿直的知识分子都想另投师门了。小弟们也错了,转眼到了每周例会的时间,帮主在今天的会上带来了最新的研究成果:经过几天的打铁研究发现,铁锤的重量越大,声音就高;铁锤的重量越小,声音就低。当重量形成1:2比例的时候,两个锤子发出八度音程,当重量是2:3比例的时候就是五度音程,当重量是3:4比例的时候就是四度音程。话音刚落,会场里掌声雷动!毕帮主大声宣布:“和谐就是比例(ratio)”。掌声再次响起!随后,比例体系日趋完善,“比例”二字也是毕达哥拉斯吸粉无数的重要工具。毕帮主声名远播,名人政客纷纷邀约,帮主也表示很无奈。

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音乐八度比例图

毕达哥拉斯定理

在一次的名流聚会上,各行各业的大咖纷纷到场,也许是厨子生病了,大餐迟迟未上桌,大家也都是饥肠辘辘。毕帮主却被脚下排列整齐的方砖吸引了,在“万物皆数”的信条指示下,毕帮主在寻找方砖和“数”的关系。他拿出画笔,以方砖为对角线,作了一个正方形,发现新的正方形的面积正好等于两个方砖。哇,好神奇!接下来又拿两个方砖组成的矩形的对角线,再作正方形,发现新的正方形的面积等于五块方砖。哇,真的好神奇!一个大胆的猜想瞬间崩出:“直角三角形,斜边的平方等于另两边平方之和。”毕帮主随后对其给出了严谨的证明!并且自己也理所应当的充当了该定理的代言人。

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“毕达哥拉斯定理”的横空出世,让毕帮主的江湖地位日益显著,各路英雄好汉慕名前来,纷纷成为兄弟会的成员!其中有一位来自小亚细亚西南海岸米粒都的帅哥顺利的成为了毕帮主的得意门生,他叫“希帕索斯”。小希也非常争气,认真完成老师布置的作业并且经常自己买练习册刷题,年年获得“三好学生”的称号!

命运像个顽童,总是在你不经意间给你开个小玩笑。

小希深得毕帮主的真传,秘籍一,万物皆数,用整数或者整数的比可以表示世间一切的事物;秘籍二,毕达哥拉斯定理,直角三角形的三边的关系。这两套秘籍每个单独拿出来,都可以独霸江湖,但当这两套秘籍放在一起的时候,问题出现了。

边长是1的正方形的对角线长度如何表示成两个整数的比?(现在我们知道是√2,当时还没有根号的概念!)

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相传小希不仅提出了这个问题,并且给出了一个证明,用严密的逻辑说明了世界上没有两个数的比能表示这个长度。当这个问题摆在毕帮主的面前的时候,小希从帮主睁大的瞳孔中察觉到了一丝寒意,帮主掩盖住自己的情绪,慈祥的对小希说:“这个问题问的很好,我要思考思考。”心中便吟诗一首:

小希小希了不起,

I can’t 找到整数比,

一想起你就生气,

丢进大海去喂鱼!”

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无理数的由来的第一个版本

在小希帮海洋鱼群解决温饱问题之后,数学界并没有平静下来,后人把这件事称为“第一次数学危机”,为了纪念小希,认为他是第一个发现无理数的人。对于毕帮主一派,简直是无理取闹,把一个坚持真理的人丢进大海,所以把这样的数称之为“无理数”。

这也是我的老师给我讲的故事,之后想想还是有点不对劲。这件事小希是占理的啊,他才是有理的一方,那么他发现的数应该叫“有理数”,而毕帮主为代表的一派确实不占理,那么他们拥护的数应该叫“无理数”。数学上的名词不会这么草率的用情感去定义吧?这其实只是后人解读时开了一个玩笑!事实上,关于“无理数”的命名还有另外一个版本。

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无理数的第二个版本

由于毕帮主兄弟会成员相信任何事物都可以表示成两个整数的比,整个世界都是和谐成比例的,但是希帕索斯的发现让帮会成员陷入的了不可比的恐慌。然而事实就是事实,在小希同学沉入海底之后,兄弟会公布了最新研究成果,说明了√2不可比的事实。根据亚里士多德的记载,兄弟会用的是反证法,(也有人说,这正是希帕索斯的证法)证明如下:

假设√2是有理数,那么√2可以表示为两个整数的比,记√2=a/b,(且a与b互素),

两边平方后得:2b²=a²,显然a²是偶数,则a是偶数,设a=2m,

代入后又得:2b²=a²=4m²,则b²=2m²,则b²是偶数,则b是偶数。

这与a与b互素的假设相矛盾。那么√2不是有理数。

这与今天的证明是一致的!

由于当时还没有“有理数”的概念。只有原来的ratio(比例),所以把“有理数”叫成“可比数”更加稳妥,而“无理数”应该被叫成“不可比数”或者“无比数”。

今天我们看rational(有理数)和irrational(无理数)两个词,显然是ratio(比例)的升级版,从希腊文的词根中演变而来,其本意是可比与不可比的区别。如果当年要是把“无理数”叫成“无比数”我感觉会更加合理一些!也许在流传的过程中,某些词根的翻译不当,历史开了个玩笑,这个玩笑一直开到了今天!

经典几何高峰期

像√2这种数是不可比的,也就是无法用现存的数去解释它的大小,而很显然的是用线段可以表示其长度。这使希腊数学的重点从数转向了几何,因为几何可以处理无理数。在此后的几千年间,几何学成为严密数学的基础,而算术和代数则没有取得独立的地位。同时,经典几何学达到了前所未有的高峰!

我们可以看出,数学家一直在回避“无理数”这个怪物!实际上并没有给无理数提供可靠的算术理论基础,遇到“无理数”的问题,西方数学家都必须用几何来严格处理。“无理数”的问题就此搁置,到底是谁能打破这种沉寂?

数学大牛们的超级秀

中世纪过后,欧洲数学逐渐复苏。东方数学逐渐传播到西方,由于东方的数学尤其以算术方面见长,受东方数学影响,在欧洲,算术和代数的发展首先取得了突出成就。到 16、17世纪,欧洲人对无理数的使用已经越来越广泛了,但无理数究竟是不是真正的数却产生了重大分歧。

观点一:无理数不是真正的数。因为在用十进小数的记号表示无理数的问题时,认为无理数不能被准确掌握,因而不是真正的数。支持这个观点的有斯蒂弗尔,帕斯卡和牛顿等人。

观点二:无理数是独立存在的数。荷兰数学家史蒂文承认无理数是数,并用有理数来逼进

它们。笛卡儿也承认无理数是能够代表连续量的抽象的数。无论哪种观点,它都只是观点,数学家们都没有弄清楚无理数的概念。

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笛卡尔

当时间轴被拨到19世纪的时候,无理数理论才开始真正建立。数学家哈密顿19世纪30年代发表 《代数学作为纯时间的科学》,文中用时间的概念去解释数,他把有理数和无理数的全体放在一起,就好像流逝的时间一样。他还提出用划分有理数的方法来定义无理数,遗憾的是最终没能完成。

1869年法国数学家梅雷在有理数的基础上给出了无理数的一个定义,这个定义与康托尔所给的定义相同。无理数一种定义方式的核心是“分割”的概念。一个分割把所有的有理数分成两类,使得第一类中的每一个数都小于第二类中的每一个数。例如,把所有平方小于2的有理数放在第一类,其它放在第二类,这个分割就不是由有理数确定的。从而每一个这样的分割对应于唯一的一个无理数。另外一种定义方式是由史托尔茨在《一般算术教程》中证明了每一个无理数可以表达成无限不循环小数。这也是我们今天所熟知的无理数定义。

至此,在古希腊时期就被发现的无理数终于有了严格的定义。“第一次数学危机”就此解除!我们不难看出,无理数的逻辑定义是有些不自然的。利用逻辑而定义出来的无理数是一个智慧的怪物,所以长期以来数学家们觉得无理数难以掌握,这是其真正的本质原因。事实上,直到19世纪,一些保守的数学家仍然不接受这样的无理数理论。

但无论怎么样,严格的无理数理论的建立是现代分析学和几何学发展的基础,是数学发展史上一次重大的进步。

最后,让我们再次把掌声送给我们的英雄–“希帕索斯”。


[1] [ 美] M.克莱因。古今数学思想[ M] 上海:上海科学 技术出版社, 1979.

[2] 李文林数学珍宝[ M] 北京:科学出版社, 1998.

[3] 胡作玄.近代数学史[ M] 济南:山东教育出版社, 2006.

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